Học toán cấp 3 để… Cái này đầu tiên mình muốn nói về công thức quan trọng nhất trong lĩnh vực Risk Management. Không phải công thức BSM (Black-Scholes-Merton) đâu, mà là Công thức Taylor Approximation:

f(x) - f(a) ≈ f'(a) / 1! * (x - a) + f''(a) / 2! * (x - a)² + f'''(a) / 3! * (x - a)³ + …

Đây là công thức quan trọng bậc nhất để liên kết Bond Yield (lợi suất trái phiếu) với Bond Price (giá trái phiếu).

Cụ thể, công thức áp dụng là:

ΔB / B = - ModDur * Δy + 1/2 * Convexity * Δy²

Ở đây, ΔB / B là biến động của giá trái phiếu theo %, ModDur (Modified Duration) là “vận tốc” của YTM (Yield to Maturity), tức là đạo hàm bậc nhất của giá trái phiếu theo YTM, thay thế cho f'(a) trong công thức Taylor. Còn Convexity là “gia tốc” của YTM (biến đổi YTM dẫn đến biến đổi duration), tức là đạo hàm bậc 2 của giá trái phiếu theo YTM, hay đạo hàm bậc 1 của Duration theo YTM, thay thế cho f''(a).

Với trái phiếu không kèm quyền chọn (như govibond - trái phiếu chính phủ), ModDur luôn âm và Convexity luôn dương. Vậy nếu YTM tăng, thì - ModDur * Δy < 0 (giá giảm), nhưng 1/2 * Convexity * Δy² > 0 (giảm bớt tác động giảm). Ngược lại, nếu YTM giảm, - ModDur * Δy > 0 (giá tăng) và 1/2 * Convexity * Δy² > 0 (tăng thêm tác động tăng). Khi học, ta được dạy rằng YTM tăng không tác động sâu bằng YTM giảm, chính là nhờ Convexity Effect này.

Hầu hết trái phiếu có Duration positive (YTM tăng thì giá giảm, trừ một số loại inverse yield hiếm), nên hiệu ứng chỉ còn phụ thuộc vào Convexity Effect. Tài chính đích thị là trò chơi toán học, với nhiều assumption (giả định) bị bẻ cong đấy.

P/S: Bổ sung là bên dưới họ tính cả reinvestment (tái đầu tư), nên có chút lệch nữa.